Ensembles finis Exemples

5 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0

$5 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez

x^{\frac{2}{3}}

$x^{\frac{2}{3}}$ comme

{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

5 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0

$5 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Étape 1.2

Laissez

u = x^{\frac{1}{3}}

$u = x^{\frac{1}{3}}$ . Remplacez toutes les occurrences de

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ par

u

$u$ .

5 u^{2} - 9 u - 2 = 0

$5 u^{2} - 9 u - 2 = 0$

Étape 1.3

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Pour un polynôme de la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est

a \cdot c = 5 \cdot - 2 = - 10

$a \cdot c = 5 \cdot - 2 = - 10$ et dont la somme est

b = - 9

$b = - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Factorisez

- 9

$- 9$ à partir de

- 9 u

$- 9 u$ .

5 u^{2} - 9 u - 2 = 0

$5 u^{2} - 9 u - 2 = 0$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez

- 9

$- 9$ comme

1

$1$ plus

- 10

$- 10$

5 u^{2} + (1 - 10) u - 2 = 0

$5 u^{2} + (1 - 10) u - 2 = 0$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

5 u^{2} + 1 u - 10 u - 2 = 0

$5 u^{2} + 1 u - 10 u - 2 = 0$

Étape 1.3.1.4

Multipliez

u

$u$ par

1

$1$ .

5 u^{2} + u - 10 u - 2 = 0

$5 u^{2} + u - 10 u - 2 = 0$

5 u^{2} + u - 10 u - 2 = 0

$5 u^{2} + u - 10 u - 2 = 0$

Étape 1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

(5 u^{2} + u) - 10 u - 2 = 0

$(5 u^{2} + u) - 10 u - 2 = 0$

Étape 1.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

u (5 u + 1) - 2 (5 u + 1) = 0

$u (5 u + 1) - 2 (5 u + 1) = 0$

u (5 u + 1) - 2 (5 u + 1) = 0

$u (5 u + 1) - 2 (5 u + 1) = 0$

Étape 1.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun,

5 u + 1

$5 u + 1$ .

(5 u + 1) (u - 2) = 0

$(5 u + 1) (u - 2) = 0$

(5 u + 1) (u - 2) = 0

$(5 u + 1) (u - 2) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ .

(5 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 2) = 0

$(5 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$

(5 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 2) = 0

$(5 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

5 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0

$5 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0

$x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Étape 3

Définissez

5 x^{\frac{1}{3}} + 1

$5 x^{\frac{1}{3}} + 1$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez

5 x^{\frac{1}{3}} + 1

$5 x^{\frac{1}{3}} + 1$ égal à

0

$0$ .

5 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0

$5 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez

5 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0

$5 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ pour

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Soustrayez

1

$1$ des deux côtés de l’équation.

5 x^{\frac{1}{3}} = - 1

$5 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Étape 3.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance

3

$3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

{(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}

${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1

Simplifiez

{(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3}

${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à

5 x^{\frac{1}{3}}

$5 x^{\frac{1}{3}}$ .

5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}

$5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Élevez

5

$5$ à la puissance

3

$3$ .

125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}

$125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans

{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$125 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3.1.1.4

Simplifiez

$125 x = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.2.1

Élevez

$- 1$ à la puissance

$3$ .

$125 x = - 1$

Étape 3.2.4

Divisez chaque terme dans

$125 x = - 1$ par

$125$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Divisez chaque terme dans

$125 x = - 1$ par

$125$ .

$\frac{125 x}{125} = \frac{- 1}{125}$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de

$125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{125 x}{125} = \frac{- 1}{125}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{- 1}{125}$

Étape 3.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{125}$

Étape 4

Définissez

$x^{\frac{1}{3}} - 2$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez

$x^{\frac{1}{3}} - 2$ égal à

$0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez

$x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ pour

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Ajoutez

$2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{3}} = 2$

Étape 4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance

$3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Simplifiez

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de

$3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 2^{3}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 2^{3}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1

Élevez

$2$ à la puissance

$3$ .

$x = 8$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$(5 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{125}, 8$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1}{125}, 8$

Forme décimale :

$x = - 0.008, 8$